சதவீதம் கணக்கு: TNPSC, ரயில்வே, வங்கித் தேர்வுகளுக்கான குறுக்கு வழிகள், தீர்வுடன் 15 கேள்விகள்

எல்லாச் சதவீதக் கணக்குகளும் இந்த மூன்று அடிப்படை வடிவங்களுக்குள் அடங்கும்:

• A என்பது B-இன் எத்தனை சதவீதம்? (A ÷ B) × 100. எடுத்துக்காட்டு: 2 மணி நேரத்தில் 18 நிமிடம் என்பது 18 ÷ 120 × 100 = 15%. முதலில் இரண்டையும் ஒரே அலகுக்கு மாற்றுங்கள்.

• ஒரு எண்ணின் x% எவ்வளவு? அந்த எண் × x ÷ 100.

• ஒரு எண்ணின் x% தெரியும்; எண் என்ன? தெரிந்த மதிப்பு × 100 ÷ x. எடுத்துக்காட்டு: ஒரு எண்ணின் 12% = 54 என்றால், எண் = 54 × 100 ÷ 12 = 450.

கீழே உள்ள ஆறு குறுக்கு வழிகளும் இதே மூன்று படிகளை வேகமாகச் செய்வதற்கான வழிகளே.

சதவீதம் என்றால் "நூற்றுக்கு" என்று பொருள்; எனவே ஒவ்வொரு சதவீதமும் ஒரு பின்னமே. தேர்வில் கொடுக்கப்படும் எண்கள் பெரும்பாலும் எளிய பின்னங்களாக மாறக்கூடியவை. இந்த அட்டவணை மனப்பாடமானால், ஒரு எண்ணின் 37.5% என்பது அதன் 3/8 பங்கு என்று உடனே தெரிந்துவிடும்.

பின்னத்திலிருந்து சதவீதம், சதவீதத்திலிருந்து பின்னம் என இரு வழியிலும் நினைவில் வையுங்கள். இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 320-இன் 62.5% = 5/8 × 320 = 200.

• 540-இன் 16 2/3% = 1/6 × 540 = 90.

மற்ற எண்களுக்கு 10%-இலிருந்து தொடங்குங்கள். 7,450-இன் 10% = 745; 5% அதில் பாதி (372.5); 15% என்பது இரண்டின் கூடுதல் (1,117.5).

y-இன் x% = (x × y) ÷ 100 = x-இன் y%. எந்த வரிசை எளிதோ அப்படிக் கணக்கிடுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு: 50-இன் 18% உடனே தெரியாது; ஆனால் 18-இன் 50% = 9. எனவே 50-இன் 18%-உம் 9 தான்.

சதவீத மாற்றம் = (மாற்றம் ÷ அசல் மதிப்பு) × 100. எப்போதும் அசல் (பழைய) மதிப்பால்தான் வகுக்க வேண்டும், புதிய மதிப்பால் அல்ல. இந்த ஒரு விதியே பெரும்பாலான பொறி விடைகளை நீக்கிவிடும்.

எடுத்துக்காட்டு: ஒரு பொருளின் விலை ₹250-இலிருந்து ₹300 ஆக உயர்கிறது. மாற்றம் ₹50; அதிகரிப்பு 50 ÷ 250 × 100 = 20%. அதே விலை ₹300-இலிருந்து ₹250 ஆகக் குறைந்தால், குறைவு 50 ÷ 300 × 100 = 16 2/3%. அதே ₹50, ஆனால் அடிப்படை வேறு.

"எத்தனை சதவீதம் அதிகம் அல்லது குறைவு" கேள்விகளுக்கு:

• A என்பது B-ஐ விட r% அதிகம் என்றால், B என்பது A-ஐ விட r ÷ (100 + r) × 100 சதவீதம் குறைவு.

• A என்பது B-ஐ விட r% குறைவு என்றால், B என்பது A-ஐ விட r ÷ (100 − r) × 100 சதவீதம் அதிகம்.

எடுத்துக்காட்டு: A-இன் சம்பளம் B-ஐ விட 25% அதிகம் என்றால், B-இன் சம்பளம் A-ஐ விட 25 ÷ 125 × 100 = 20% குறைவு. விலை – பயன்பாடு கேள்விக்கும் இதே விதிதான்: சர்க்கரை விலை 25% உயர்ந்தால், செலவு மாறாமல் இருக்க ஒரு குடும்பம் தன் சர்க்கரைப் பயன்பாட்டை 20% குறைக்க வேண்டும்.

ஒரு மதிப்பு முதலில் a%, பிறகு b% மாறினால், மொத்த மாற்றம்:

a + b + (a × b) ÷ 100 சதவீதம்

குறைவுக்குக் கழித்தல் குறி (−) பயன்படுத்துங்கள். விடை நேர்மறை என்றால் மொத்தத்தில் அதிகரிப்பு, எதிர்மறை என்றால் குறைவு.

• 10% உயர்வு, பிறகு 20% உயர்வு: 10 + 20 + (10 × 20) ÷ 100 = 32% அதிகரிப்பு.

• 20% உயர்வு, பிறகு 20% குறைவு: 20 − 20 − (20 × 20) ÷ 100 = −4%, அதாவது 4% குறைவு. சம அளவு உயர்வும் குறைவும் ஒன்றையொன்று சரிகட்டுவதில்லை.

நீளமும் அகலமும் மாறும்போது செவ்வகத்தின் பரப்பளவு மாற்றத்துக்கும், ஒரே வீதத்தில் இரண்டு ஆண்டு வளர்ச்சிக்கும் (குறுக்கு வழி 6) இதே சூத்திரம் பொருந்தும்.

r% அதிகரிப்புக்குப் பின் ஒரு மதிப்பு V என்றால், அசல் மதிப்பு = V × 100 ÷ (100 + r). r% குறைவுக்குப் பின் என்றால் V × 100 ÷ (100 − r).

எடுத்துக்காட்டு: 12% விலைக் குறைப்புக்குப் பின் ஒரு கைப்பேசியின் விலை ₹13,200. அசல் விலை 13,200 × 100 ÷ 88 = ₹15,000.

₹13,200-இன் 12%-ஐக் கணக்கிட்டு மீண்டும் கூட்ட வேண்டாம். அப்படிச் செய்தால் ₹14,784 வரும்; இது வழக்கமாகக் கொடுக்கப்படும் ஒரு தவறான விடை.

ஒவ்வொரு ஆண்டும் முந்தைய ஆண்டின் மதிப்பின் மீது r% வளர்ந்தால், வளர்ச்சி கூட்டு முறையில் நடக்கும்:

• n ஆண்டுகளுக்குப் பின் மதிப்பு = P × (1 + r/100) × (1 + r/100) × …, ஒவ்வொரு ஆண்டுக்கும் ஒரு அடைப்புக்குறி.

• ஆண்டுதோறும் மதிப்பு குறைந்தால் (தேய்மானம்), ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறிக்குள்ளும் (1 − r/100) பயன்படுத்துங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு: 50,000 பேர் வசிக்கும் ஒரு நகரத்தின் மக்கள்தொகை ஆண்டுக்கு 10% வளர்கிறது. 2 ஆண்டுகளுக்குப் பின் 50,000 × 1.1 × 1.1 = 60,500 பேர். குறுக்கு வழி 4-இன்படி 10%-இல் இரண்டு ஆண்டுகள் = 10 + 10 + 1 = 21%; 50,000-இன் 21% = 10,500; அதே 60,500 வருகிறது.

எடுத்துக்காட்டு: ₹60,000 மதிப்புள்ள ஒரு ஸ்கூட்டர் ஆண்டுக்கு 10% மதிப்பை இழக்கிறது. 2 ஆண்டுகளுக்குப் பின் அதன் மதிப்பு 60,000 × 0.9 × 0.9 = ₹48,600. குறுக்கு வழி 4-இன்படி இது −10 − 10 + 1 = −19%.

பின்னோக்கிச் செல்ல ("2 ஆண்டுகளுக்கு முன் மக்கள்தொகை எவ்வளவு?"), பெருக்குவதற்குப் பதில் அதே காரணிகளால் வகுங்கள்.

100% என்பது எதைக் குறிக்கிறது என்று முடிவு செய்துவிட்டால், பெரும்பாலான கணக்குகள் ஒரே வரியில் முடிந்துவிடும்.

மதிப்பெண். தேர்ச்சிக்கு 35% தேவை. ஒரு மாணவர் 210 மதிப்பெண் பெற்று, 35 மதிப்பெண் வித்தியாசத்தில் தோல்வியடைகிறார். தேர்ச்சி மதிப்பெண் 210 + 35 = 245; இது மொத்த மதிப்பெண்ணின் 35%. எனவே மொத்த மதிப்பெண் 245 × 100 ÷ 35 = 700.

வாக்குகள். இரண்டு வேட்பாளர்கள் போட்டியிடும் தேர்தலில், வெற்றியாளர் செல்லுபடியான வாக்குகளில் 58% பெற்று 2,400 வாக்குகள் வித்தியாசத்தில் வெல்கிறார். தோற்றவருக்கு 42%; வித்தியாசம் 16%. 16% = 2,400 என்றால் 100% = 15,000 செல்லுபடியான வாக்குகள்.

லாபம் – நட்டக் கணக்குகள், நிலையான அடிப்படை கொண்ட சதவீதக் கணக்குகளே: கேள்வியில் வேறு சொல்லாவிட்டால், லாப அல்லது நட்ட சதவீதம் எப்போதும் அடக்க விலையின் மீதுதான் கணக்கிடப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு: ₹400-க்கு வாங்கி ₹500-க்கு விற்றால் லாபம் ₹100; லாப சதவீதம் 100 ÷ 400 × 100 = 25%. ₹500-க்கு வாங்கி ₹400-க்கு விற்றால் நட்டமும் ₹100 தான், ஆனால் அது 20% மட்டுமே; ஏனெனில் இப்போது அடிப்படை ₹500. குறித்த விலை, தள்ளுபடி, நேர்மையற்ற வியாபாரி கணக்குகள் எல்லாம் இதே விதியின் மேல் அமைபவை.

ஒவ்வொரு கேள்வியின் கீழும் உள்ள விடையை மூடிக்கொள்ளுங்கள்; ஒரு கேள்விக்குச் சுமார் 40 விநாடிகள் எடுத்துக்கொண்டு, சரியான விடையைப் பார்ப்பதற்கு முன், நீங்கள் தேர்ந்தெடுத்த விடையை எழுதிவையுங்கள்.

1. 480-இன் 37.5% எவ்வளவு?

(A) 160 · (B) 175 · (C) 180 · (D) 192

விடை: (C) 180. அட்டவணைப்படி 37.5% = 3/8; 3/8 × 480 = 3 × 60 = 180.

2. 25-இன் 28%, 28-இன் 25% ஆகிய இரண்டின் கூடுதல் என்ன?

(A) 14 · (B) 7 · (C) 12.5 · (D) 28

விடை: (A) 14. குறுக்கு வழி 2-இன்படி 25-இன் 28% = 28-இன் 25% = 28-இல் கால் பங்கு = 7. இரண்டும் சமம்; கூடுதல் 7 + 7 = 14.

3. ஒரு எண்ணின் 15% = 63 என்றால், அதே எண்ணின் 40% எவ்வளவு?

(A) 152 · (B) 160 · (C) 172 · (D) 168

விடை: (D) 168. எண்ணைக் கண்டுபிடிக்கத் தேவையில்லை: 40% என்பது 15%-இன் 40/15 = 8/3 மடங்கு; எனவே 63 × 8 ÷ 3 = 168. (எண் 420; அதன் 40% = 168.)

4. ஒரு பேருந்துப் பயணக் கட்டணம் ₹40-இலிருந்து ₹50 ஆக உயர்கிறது. எத்தனை சதவீதம் அதிகரித்துள்ளது?

(A) 20% · (B) 25% · (C) 10% · (D) 30%

விடை: (B) 25%. பழைய கட்டணம் ₹40-இன் மீது ₹10 உயர்வு: 10 ÷ 40 × 100 = 25%. புதிய கட்டணமான ₹50-ஆல் தவறாக வகுத்தால் (A) 20% வரும்.

5. ரவியின் சம்பளம் குமாரின் சம்பளத்தை விட 60% அதிகம். குமாரின் சம்பளம் ரவியின் சம்பளத்தை விட எத்தனை சதவீதம் குறைவு?

(A) 60% · (B) 40% · (C) 37.5% · (D) 62.5%

விடை: (C) 37.5%. குறுக்கு வழி 3-இன்படி 60 ÷ (100 + 60) × 100 = 60 ÷ 160 × 100 = 37.5%. சரிபார்ப்பு: குமாரின் சம்பளம் 100 என்றால் ரவியின் சம்பளம் 160; குமாருக்கு 60 குறைவு, அது 160-இன் 37.5%.

6. தேர்ச்சி பெற மொத்த மதிப்பெண்ணில் 40% தேவை. ஒரு மாணவர் 232 மதிப்பெண் பெற்று 28 மதிப்பெண் வித்தியாசத்தில் தோல்வியடைகிறார். மொத்த மதிப்பெண் எவ்வளவு?

(A) 600 · (B) 580 · (C) 700 · (D) 650

விடை: (D) 650. தேர்ச்சி மதிப்பெண் 232 + 28 = 260; இது மொத்தத்தின் 40%. எனவே மொத்தம் 260 × 100 ÷ 40 = 650.

7. 20% விலை உயர்வுக்குப் பின் ஒரு எரிவாயு சிலிண்டரின் விலை ₹1,080. உயர்வுக்கு முன் விலை என்ன?

(A) ₹900 · (B) ₹864 · (C) ₹880 · (D) ₹960

விடை: (A) ₹900. குறுக்கு வழி 5-இன்படி பழைய விலை 1,080 × 100 ÷ 120 = ₹900. (B) ஒரு பொறி: ₹1,080-இல் 20% குறைத்தால் ₹864 வரும்; ஆனால் அந்த 20% கணக்கிடப்பட்டது பழைய விலையின் மீது, புதிய விலையின் மீது அல்ல.

8. ஒரு கடைக்காரர் சட்டையின் விலையை 25% உயர்த்தி, பிறகு புதிய விலையில் 20% தள்ளுபடி தருகிறார். அசல் விலையுடன் ஒப்பிடும்போது இறுதி விலை:

(A) 5% அதிகம் · (B) 5% குறைவு · (C) மாற்றம் இல்லை · (D) 1% குறைவு

விடை: (C) மாற்றம் இல்லை. குறுக்கு வழி 4-இன்படி 25 − 20 − (25 × 20) ÷ 100 = 25 − 20 − 5 = 0. ₹100 வைத்துச் சரிபாருங்கள்: அது ₹125 ஆகிறது; ₹125-இல் 20% தள்ளுபடி ₹25; மீண்டும் ₹100.

இவற்றுக்கு இரண்டு மூன்று படிகள் தேவை. ஒவ்வொரு படியையும் எழுதுங்கள்; நடுத்தரக் கேள்விகளில் பெரும்பாலான தவறுகள் இரண்டாவது படியை மனதுக்குள் செய்வதால்தான் வருகின்றன.

9. இரண்டு வேட்பாளர்கள் போட்டியிட்ட ஒரு தேர்தலில், வாக்காளர் பட்டியலில் உள்ளவர்களில் 10% பேர் வாக்களிக்கவில்லை. பதிவான வாக்குகளில் 55% பெற்ற வெற்றியாளர் 1,800 வாக்குகள் வித்தியாசத்தில் வென்றார். பதிவான எல்லா வாக்குகளும் செல்லுபடியானவை என்றால், பட்டியலில் எத்தனை வாக்காளர்கள் இருந்தனர்?

(A) 18,000 · (B) 20,000 · (C) 19,800 · (D) 22,000

விடை: (B) 20,000. வெற்றியாளருக்கு 55%, தோற்றவருக்கு 45%; எனவே 1,800 வாக்கு வித்தியாசம் என்பது பதிவான வாக்குகளின் 10%. அப்படியானால் பதிவான வாக்குகள் 18,000. இந்த 18,000 என்பது பட்டியலின் 90%; ஆகவே பட்டியலில் 18,000 × 100 ÷ 90 = 20,000 வாக்காளர்கள். (A) ஒரு படி முன்னதாகவே நின்றுவிடுகிறது.

10. ஒரு நகரத்தின் மக்கள்தொகை 64,000. அது ஆண்டுதோறும் 5% வளர்கிறது. 2 ஆண்டுகளுக்குப் பின் மக்கள்தொகை எவ்வளவு?

(A) 70,400 · (B) 71,040 · (C) 70,560 · (D) 70,000

விடை: (C) 70,560. ஓராண்டுக்குப் பின்: 64,000 × 1.05 = 67,200. இரண்டாண்டுக்குப் பின்: 67,200 × 1.05 = 70,560. குறுக்கு வழி 4-இன்படி 5%-இல் இரண்டு ஆண்டுகள் = 5 + 5 + 0.25 = 10.25%; 64,000-இன் 10.25% = 6,560. (A) நேரடியாக 10% கூட்டியதால் வரும் தவறு.

11. ₹1,25,000-க்கு வாங்கிய ஒரு இயந்திரம் ஆண்டுதோறும் தன் மதிப்பில் 20% இழக்கிறது. 3 ஆண்டுகளுக்குப் பின் அதன் மதிப்பு என்ன?

(A) ₹50,000 · (B) ₹80,000 · (C) ₹62,500 · (D) ₹64,000

விடை: (D) ₹64,000. ஒவ்வொரு ஆண்டும் மதிப்பு 0.8-ஆல் பெருக்கப்படுகிறது: ₹1,25,000 முதல் ஆண்டில் ₹1,00,000, இரண்டாம் ஆண்டில் ₹80,000, மூன்றாம் ஆண்டில் ₹64,000. (A) அசல் விலையில் ஒரே தடவையில் 60% குறைத்த தவறு; (B) இரண்டு ஆண்டுகளுக்குப் பிந்தைய மதிப்பு.

12. அரிசி விலை 20% குறைந்ததால், ஒருவர் ₹800-க்கு 5 கிலோ அதிகமாக அரிசி வாங்க முடிகிறது. குறைந்த விலையில் ஒரு கிலோ அரிசியின் விலை என்ன?

(A) ₹32 · (B) ₹40 · (C) ₹30 · (D) ₹36

விடை: (A) ₹32. 20% விலைக் குறைவால் பழைய அளவு அரிசிக்கு ₹800-இல் 20% = ₹160 மிச்சமாகிறது; அந்த ₹160-க்குப் புதிய விலையில் கூடுதலாக 5 கிலோ கிடைக்கிறது. எனவே புதிய விலை 160 ÷ 5 = கிலோ ₹32. சரிபார்ப்பு: பழைய விலை ₹40; அப்போது ₹800-க்கு 20 கிலோ; ₹32-இல் 25 கிலோ, அதாவது 5 கிலோ அதிகம். (B) பழைய விலை, குறைந்த விலை அல்ல.

13. ஒரு செவ்வகத்தின் நீளம் 30% அதிகரிக்கப்பட்டு, அகலம் 20% குறைக்கப்படுகிறது. அதன் பரப்பளவில் ஏற்படும் மாற்றம் என்ன?

(A) 10% அதிகரிப்பு · (B) 4% அதிகரிப்பு · (C) 6% குறைவு · (D) 4% குறைவு

விடை: (B) 4% அதிகரிப்பு. பரப்பளவு = நீளம் × அகலம் என்பதால் குறுக்கு வழி 4 பொருந்தும்: 30 − 20 − (30 × 20) ÷ 100 = 30 − 20 − 6 = 4, அதாவது 4% அதிகரிப்பு. சரிபார்ப்பு: 1.3 × 0.8 = 1.04.

14. மீனா தன் மாதச் சம்பளத்தில் 30%-ஐ வாடகைக்கும், மீதியில் 25%-ஐ உணவுக்கும் செலவிடுகிறார். மீதமுள்ள ₹15,750-ஐச் சேமிக்கிறார். அவரது மாதச் சம்பளம் என்ன?

(A) ₹28,000 · (B) ₹35,000 · (C) ₹32,500 · (D) ₹30,000

விடை: (D) ₹30,000. வாடகைக்குப் பின் சம்பளத்தில் 70% மீதம். அதில் கால் பங்கு உணவுக்கு, முக்கால் பங்கு சேமிப்பு: 70% × 3/4 = சம்பளத்தின் 52.5%. 52.5% = ₹15,750 என்றால் சம்பளம் 15,750 × 100 ÷ 52.5 = ₹30,000. சரிபார்ப்பு: வாடகை ₹9,000, மீதம் ₹21,000; உணவு ₹5,250, மீதம் ₹15,750.

15. ஒரு தேர்வில் 35% மாணவர்கள் கணிதத்திலும், 25% பேர் ஆங்கிலத்திலும், 10% பேர் இரண்டிலும் தோல்வியடைந்தனர். இரண்டு பாடங்களிலும் 450 மாணவர்கள் தேர்ச்சி பெற்றனர் என்றால், தேர்வு எழுதியவர்கள் எத்தனை பேர்?

(A) 1,125 · (B) 900 · (C) 1,500 · (D) 750

விடை: (B) 900. குறைந்தது ஒரு பாடத்திலாவது தோல்வியடைந்தவர்கள் = 35 + 25 − 10 = 50%; இரண்டிலும் தோல்வியடைந்த 10% பேர் இரண்டு முறை எண்ணப்பட்டதால் ஒரு முறை கழிக்கிறோம். எனவே இரண்டிலும் தேர்ச்சி 50%; 50% = 450 என்றால் மொத்தம் 900. (A) அந்த 10%-ஐக் கழிக்க மறந்ததால் வருகிறது (450 ÷ 40% = 1,125).

மதிப்பெண் போடும்போது ஊகித்து எழுதிய விடையைத் தவறாகவே எண்ணுங்கள். அதிர்ஷ்டத்தில் சரியாக அமைந்த ஊகமும், இன்னும் கற்க வேண்டிய இடத்தையே காட்டுகிறது.

வார இறுதியில் நீண்ட நேரம் படிப்பதை விட, தினமும் கொஞ்சம் பயிற்சி செய்வதே சதவீதத்துக்குப் பலன் தரும். பெரும்பாலான தேர்வர்களுக்குப் பொருந்தும் ஒரு வழக்கம்:

• ஒரு வாரம் தினமும் காலையில் பின்ன அட்டவணையை நினைவிலிருந்து எழுதுங்கள், பார்க்கத் தேவையில்லாத அளவுக்குப் பழகும் வரை.

• தினமும் நேரம் வைத்து, கலவையான 10 சதவீதக் கேள்விகள்; ஒரு கேள்விக்கு 40 விநாடி இலக்கு.

• வாரம் ஒருமுறை முழு மாதிரி தேர்வு எழுதுங்கள்; தேர்வு அறையில் வருவது போலவே சதவீதக் கேள்விகள் மற்ற பாடங்களுடன் கலந்து வரும்.

Thervu-வில் RRB NTPC, RRB குரூப் டி, தமிழ்நாடு காவல் SI, SBI கிளார்க், PO வினா வங்கிகளில் "சதவீதம்" என்ற தனித் தலைப்பு உண்டு. ஒரு தலைப்பை மட்டும் தேர்ந்தெடுத்துப் பயிற்சி செய்வது Pro வசதி; இலவசக் கணக்கில் முழுப் பாடத்திட்டத்திலிருந்து தினசரி மாதிரித் தேர்வுகளும், ஒவ்வொரு பாடத்திலும் சில தலைப்புகளில் விரைவுப் பயிற்சியும் கிடைக்கும். தேர்வுகளைத் தமிழிலோ ஆங்கிலத்திலோ எழுதலாம்; சமர்ப்பித்தவுடன் மதிப்பெண் கிடைக்கும்; தவறிய கேள்விகள் மீள்பார்வைக்கு மீண்டும் வரும். இலவசத் திட்டத்தில் என்ன உண்டு என்பதைத் திட்டங்கள் பக்கத்தில் பாருங்கள்.

குரூப் 4-க்குத் தயாராகிறீர்களா? எங்கள் 90 நாள் குரூப் 4 படிப்புத் திட்டம் முதல் வாரத்திலேயே சுருக்குதல், சதவீதம் இரண்டையும் அரசியலமைப்புடன் சேர்த்து வைக்கிறது. பொது அறிவுப் பகுதிக்கு எங்கள் 30 பொது அறிவு வினா விடைகள் பக்கத்தை முயற்சி செய்யுங்கள். ரயில்வே தேர்வுகளுக்கு, RRB சென்னை கட் ஆஃப் மதிப்பெண்கள் எவ்வளவு நெருக்கமாக இருக்கின்றன என்பதை எங்கள் RRB குரூப் டி கட் ஆஃப் கட்டுரை காட்டுகிறது; அதனால்தான் விரைவாகப் பெறும் சில கணித மதிப்பெண்களும் முக்கியம்.